Question

多面體ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．
（1）求證：AE∥面BCD；
（2）求證：面BED⊥面BCD．

Answer 1

【答案】分析：（1）平面外的直線，如果它和平面內的一條直線平行，則此直線和這個平面平行．
（2）取BC中點為N，BD中點為M，證MN⊥面ABC，從而MN⊥AN，再證 AN⊥面BCD，先證四邊形ANME為平行四邊形，從而EM⊥面BCD，進而證得面BED⊥面BCD．
解答：（1）∵AE∥CD，AE?面BCD，
∴AE∥面BCD（5分）
（2）取BC中點為N，BD中點為M，連接MN、EN
∵MN是△BCD的中位線，∴MN∥CD（7分）
又∵AE∥CD，∴AE∥MN，∴MN⊥面ABC，
∴MN⊥AN（8分）
∵△ABC為正△，∴AN⊥BC，
∴AN⊥面BCD（10分）
又∵AE=MN=1，AE∥MN，∴四邊形ANME為平行四邊形（12分）
∴EM⊥面BCD，
∴面BED⊥面BCD（14分）
點評：本題考查線面平行的證明方法，以及證明兩個平面垂直的方法（即在其中一個平面內找出一條直線和另一個平面垂直）．