Question

己知多面體ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB∥DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直線BD與平面CBE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明AO⊥CD，AO⊥DE，利用線面垂直的判定定理，可得AO⊥平面CDE；
（Ⅱ）取CE中點F，連接BF，DF，證明DF⊥平面CBE，可得∠DBF就是求直線BD與平面CBE所成角，從而可得其正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵AC=AD，O為CD的中點，
∴AO⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AO?平面ACD，
∴AO⊥DE，
∵CD∩DE=D，
∴AO⊥平面CDE；
（Ⅱ）解：取CE中點F，連接BF，DF，則AB∥DE且AB=

1

2

DE，
在△CDE中，OF∥DE且OF=

1

2

DE，
∴AB∥OF且AB=OF，
∴四邊形ABFO是平行四邊形，
∴BF∥AO，
∵AO⊥平面CDE，
∴BF⊥平面CDE，
∴BF⊥DF．
∵CD=DE，
∴DF⊥CE，
∵BF∩CE=F，
∴DF⊥平面CBE，
∴∠DBF就是求直線BD與平面CBE所成角．
在△BDF中，DF=

2

，BD=

5

，
∴sin∠DBF=

10

5

，
∴直線BD與平面CBE所成角的正弦值

10

5

．

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，正確作出線面角是關鍵．