Question

（08年威海市質檢）（12分）多面體ABCDEF的直觀圖及三視圖分別如圖所示，已知點M在AC上，點N在DE上，且AM：MC=DN：NE=a

   （1）求證：MN//平面BCEF；

   （2）當a=1時，求二面角D―MN―F的余弦值的絕對值。

 

Answer 1

解析：（1）由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ABF―DCE。

且AB=BC=AF=2，CE=BF=，∠BAF=90°

在CD上取一點G，DG：GC=DN：NE，連MG、NG。則

∵AM：MC=DN：NE=a，

∴NG//CE，MG//BC。

∴平面MNG//平面BCEF。

∴MN//平面CDEF。…………………………6分

（2）∵a=1

∴M、N分別是AC、CE的中點。

以AB、AF、AD分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則有關各點的坐標分別是D（0，0，2），F（0，2，0），M（1，1），N（0，1，2）

∴…………8分

設平面DMN的法向量

∴

∴

∴

設平面MNF的法向量為

∴

∴……………………10分

設二面角D―MNF的平面角為，

則

∴二面角D―MN―F的余弦值的絕對值為………………12分