Question

如圖,直線l過點A(2,3),并且被兩平行線l₁:3x+4y-7=0和l₂:3x+4y+8=0截得的線段長為3,試求直線l的方程.

Answer 1

思路解析：由l被l₁、l₂截得線段長為3,又l₁、l₂間的距離為3,可求得l與l₂的夾角為45°,由夾角公式可求l的斜率,從而得解.

解：設直線l的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.

設l與l₁交于點M,作MN⊥l₂于點N(如圖7-3-8).

兩平行線l₁、l₂間距離|MN|==3.

在Rt△MNQ中,|MQ|=3,sin∠MQN==,∴∠MQN=45°,即直線l與l₂的夾角是45°.于是tan45°=.解之,得k=或k=-7.

∴所求直線方程為x-7y+19=0或7x+y-17=0.

深化升華

    本題構造一個Rt△MNQ,求l₂與l的夾角,進而求出所求直線的斜率,從而求出直線l的方程.本題如采用解方程組的方法求交點M(,),Q(,),再利用|MQ|=3來解出k,運算很繁雜,比較之下,本題用前一類解法好.