Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一個零點，數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設，定義所有滿足c_m•c_m+1＜0的正整數m的個數，稱為這個數列{c_n}的變號數，求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由二次函數f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一個零點可通過△=a²-4a=0求出a值，從而求得S_n=n²-4n+4，最后根據通項與前n項和的關系求解．
（Ⅱ）將（I）的結論代入，可得根據c_m•c_m+1＜0可知，當n≥5時，恒有a_n＞0，前四項求出，則易得變號的數．
解答：解：（Ⅰ）依題意，△=a²-4a=0⇒a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x²-4x+4
∴S_n=n²-4n+4
當n=1時，a₁=S₁=1-4+4=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5
∴（6分）
（Ⅱ）由題設
由可知，
當n≥5時，恒有a_n＞0（8分）
又c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，
即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，c₄•c₅＜0
所以，數列{c_n}共有三個變號數，即變號數為3．（12分）
點評：本題主要考查函數與數列的綜合運用，主要涉及了函數的零點，數列的通項與前n項和間的關系，以及構造數列，研究其性質等問題，綜合性較強，屬中檔題．