Question

已知函數f(x)=

a-x

+

x

（a為常數，且a∈N^*），對于定義域內的任意兩個實數x₁、x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，則正整數a可以取的值有（　　）

• A、4個
• B、5個
• C、6個
• D、7個

Answer 1

分析：由條件對定義域內任意x₁，x₂，滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，問題可以轉化為f（x）_max-f（x）_min＜1，因此求函數的最值是關鍵．求最值時，利用換元法求解．

解答：解：由題意，

x

=

a

 cosα，

a-x

=

a

sinα(α∈[0，

π

2

]，f(x)=

a

cosα+

a

sinα=

2a

sin(α +

π

4

)，
從而有 f(x)max= 

2a

，f(x)min=

a

，∴

2a

-

a

＜1解得 a＜3+2

2

，∵a∈N^*，∴a=1，2，3，4，5，
故選B．

點評：解答時等價轉化是解題的關鍵，求解函數的最值運用三角換元法，應注意參數角的范圍．