Question

在公差為d(d≠0)的等差數列{a_n}和公比為q的等比數列{b_n}中,已知a₁=b₁=1,a₂=b₂,a₈=b₃.

(1)求d、q的值;

(2)是否存在常數a、b使得對于一切自然數n,都有a_n=log_ab_n+b成立?若存在,求出a和b;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)∵a₁=b₁=1,a₂=b₂,a₈=b₃,

    ∴

    ∴或(舍去).

    (2)假設存在a、b使得a_n=log_ab_n+b對一切n∈N^*恒成立,則有1+5(n-1)=log_a6^n-1+b,即(5-log_a6)n-(4+b-log_a6)=0.

    ∵上式對任意n∈N^*恒成立,

    ∴

    解得a=,b=1.

講評:在一定條件下,判斷某種數學對象是否存在,解答此類問題,一般先假設要求(或證)的結論是存在的,然后利用有關概念、公理、定理、法則推理下去,如果暢通無阻,則存在,如果推理過程中,有問題或前后矛盾,則說明不存在.