Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-（a+m）x+alnx，且f′（1）=0，其中a、m∈R．
（1）求m的值；
（2）求函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先解出函數的導數f′（x）=x-（a+m）+

a

x

，再由f′（1）=0建立方程即可求出m的值；
（2）由（1）可得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

x2-(a+1)+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，比較a與1，0的大小，分為三類討論得出函數f（x）的單調增區間．

解答：解：（1）由題設知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-（a+m）+

a

x

…（2分）
由f′（1）=0得1-（a+m）+a=0，解得m=1．…（4分）
（2）由（1）得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

x2-(a+1)+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

…（6分）
當a＞1時，由f′（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，
此時f（x）的單調增區間為（a，+∞）和（0，1）…（9分）
當a=1時，f（x）的單調增區間為（0，+∞）．…（11分）
當0＜a＜1時，由f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，
此時f（x）的單調增區間為（1，+∞）和（0，a）．…（14分）
當a≤0時，由f′（x）＞0得x＞1，此時f（x）的單調增區間為（1，+∞）．
綜上，當a＞1時，f（x）的單調增區間為（a，+∞）和（0，1）；當a=1時，f（x）的單調增區間為（0，+∞）；當0＜a＜1時，f（x）的單調增區間為（1，+∞）和（0，a）；當a≤0時，f（x）的單調增區間為（1，+∞）．…（16分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及分類討論的思想及高次不等式的解法，解題的關鍵是理解導數的符號與函數單調性的對應，本題中解不等式也是一個計算難點，可分區間討論解出不等式的解集從而得出函數的單調區間