Question

已知函數f（x）=1-

1

x

（x＞0），若存在實數a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域為（a，b）時，值域為（ma，mb），則實數m的取值范圍是

m∈(0，

1

4

)

．

Answer 1

分析：由單調性的定義可得函數單調遞增，故可得則

f(a)=ma f(b)=mb

，即故

m= 1 ab 1 a + 1 b =1

，由基本不等式可得

ab

＞2，從而可得答案．

解答：解：由題意，設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=（1-

1

x1

）-（1-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0，故函數f（x）=1-

1

x

（x＞0）單調遞增，
若存在實數a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域為（a，b）時，值域為（ma，mb），
則

f(a)=ma f(b)=mb

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，解得

m= 1 ab 1 a + 1 b =1

，
由基本不等式可得1=

1

a

+

1

b

≥2

1 a • 1 b

，解

ab

＞2，（a＜b取不到等號），故m=

1

ab

∈（0，

1

4

）
故答案為：m∈(0，

1

4

)

點評：本題考查函數的值域，涉及函數的單調性和基本不等式，屬中檔題．