Question

(本小題滿分13分)已知矩形的對角線交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在的直線上，

（1）求矩形的外接圓的方程；

（2）已知直線，求證：直線與矩形的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由且，點(diǎn)在邊所在的直線上

所在直線的方程是：即      由得                                       

矩形ABCD的外接圓的方程是：

（2）直線的方程可化為：

可看作是過直線和的交點(diǎn)的直線系,即恒過定點(diǎn)由知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以與圓恒相交，

設(shè)與圓的交點(diǎn)為，為到的距離）

設(shè)與的夾角為，則當(dāng)時，最大，最短此時的斜率為的斜率的負(fù)倒數(shù)：，的方程為

即： 

 

【解析】本試題主要是考查了直線方程和圓的方程的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

(1) 矩形的對角線交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在的直線上，得到圓心坐標(biāo)和半徑從而得到圓的方程。

（2）直線的方程可化為：

可看作是過直線和的交點(diǎn)的直線系,即恒過定點(diǎn)由知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以與圓恒相交，

設(shè)與圓的交點(diǎn)為，為到的距離）借助于斜率的關(guān)系式得到結(jié)論。

解：（1）由且，點(diǎn)在邊所在的直線上

所在直線的方程是：即      由得                                      

矩形ABCD的外接圓的方程是：

（2）直線的方程可化為：

可看作是過直線和的交點(diǎn)的直線系,即恒過定點(diǎn)由知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以與圓恒相交，

設(shè)與圓的交點(diǎn)為，為到的距離）

設(shè)與的夾角為，則當(dāng)時，最大，最短此時的斜率為的斜率的負(fù)倒數(shù)：，的方程為

即：