Question

已知如圖橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，橢圓的左、右兩個頂點分別為A，B，AB=4，直線x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點，經過三點A，M，N的圓與經過三點B，M，N的圓分別記為圓C1與圓C2．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：無論t如何變化，圓C1與圓C2的圓心距是定值；
（3）當t變化時，求圓C1與圓C2的面積的和S的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據AB=4求得a，通過離心率求得c，進而可得b，求出橢圓的標準方程．
（2）根據題意可得A，B，M，N，P的坐標，進而可求得直線AM和PC₁的斜率，進而可求得直線PC₁的方程通過C₁和C₂的求得線段C₁C₂的長度為定值．
（3）根據兩圓的半徑求出關于t的圓C1與圓C2的面積的和S的關系式，根據t的范圍可求得S的最小值．

解答：解：（1）由題意：

c

a

=

3

2

，2a=4可得：a=2，c=

3

，b2=a2-c2=1，
故所求橢圓方程為：

x2

4

+y2=1，
（2）易得A的坐標（-2，0），B的坐標（2，0），M的坐標(t，

4-t2

2

)，N的坐標(t，-

4-t2

2

)，
線段AM的中點P(

t-2

2

，

4-t2

4

)，
直線AM的斜率k₁=

4-t2 2

t+2

=

1

2

2-t 2+t

，
又PC₁⊥AM，∴直線PC₁的斜率k₂=-2

2+t 2-t

∴直線PC₁的方程y=-2

2+t 2-t

（x-

t-2

2

）+

4-t2

4

，
∴C₁的坐標為（

3t-6

8

，0）同理C₂的坐標為（

3t+6

8

，0），
∴|C₁C₂|=

3

2

，即無論t如何變化，為圓C1與圓C2的圓心距是定值．
（3）圓C₁的半徑為|AC₁|=

3t+10

8

，圓C₂的半徑為|BC₂|=

10-3t

8

，
則S=π|AC₁|²+π|BC₂|²=

π

32

（9t²+100）（-2＜t＜2）
顯然t=0時，S最小，S_min=

25π

8

．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．平時要多注意積累橢圓的幾何性質，掌握用坐標法研究直線與橢圓，圓與橢圓的位置關系，熟練地求弦長、面積、對稱等問題．