Question

若函數f（x）滿足?m∈R，m≠0，對定義域內的任意x，f（x+m）=f（x）+f（m）恒成立，則稱f（x）為m函數，現給出下列函數：
①y=

1

x

； ②y=2x；③y=sinx；④y=1nx
其中為m函數的序號是______．（把你認為所有正確的序號都填上）

Answer 1

①若f(x)=

1

x

，則由f（x+m）=f（x）+f（m）得

1

x+m

=

1

x

+

1

m

，即

1

m

=

1

x+m

-

1

x

=

-m

x(x+m)

，
所以不存在常數m使f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以①不是m函數．
②若f（x）=2x，由f（x+m）=f（x）+f（m）得，2（x+m）=2x+2m，此時恒成立，所以②y=2x是m函數．
③若f（x）=sinx，由f（x+m）=f（x）+f（m）得sin（x+m）=sinx+sinm，所以當m=π時，f（x+m）=f（x）+f（m）成立，所以③y=sinx是m函數．
④若f（x）=1nx，則由f（x+m）=f（x）+f（m）得ln（x+m）=lnx+lnm，即ln（x+m）=lnmx，所以x+m=mx，要使x+m=mx成立則有

m=1 m=0

，所以方程無解，所以④y=1nx不是m函數．所以為m函數的序號是②③．
故答案為：②③