Question

f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a（其中a∈R）．已知：
（Ⅰ）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上最大值與最小值之和3，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角和兩角和的正弦函數化簡函數為：f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1，然后利用周期公式求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據[-

π

6

，

π

6

]，求出2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]然后求出-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，利用最大值與最小值之和3，求a的值．

解答：解：∵f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a+1（3分）
（Ⅰ）最小正周T=

2π

2

=π（6分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1（9分）
即

f(x)max=2+a+1 f(x)min=-1+a+1

∴2a+3=3即：a=0（12分）

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡以及三角函數的性質，考查基本知識的掌握情況，考查計算能力．