Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x²+4x．
（1）求函數的解析式；
（2）畫出函數的大致圖象，并求出函數的值域；
（3）若k∈R，試討論方程f（x）=k實數解的個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數f（x）是偶函數，及x≤0時，f（x）=x²+4x，可以設x＞0，可得-x＜0，代入上式即可求解；
（2）利用函數的解析式，利用描點法畫出函數的圖象，利用圖象求出其值域；
（3）方程f（x）=k，方程有解的問題利用數形結合的方法進行求解；
解答：解：（1）設x＞0，可得-x＜0，∵當x≤0時，f（x）=x²+4x，
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x，∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（-x）=x²-4x，
∴…（4分）

（2）圖象如圖
如上圖可知：f（x）的值域為：值域為f（x）∈[-4，+∞）…（8分）
（3）方程f（x）=k實數解，令y=k與f（x）有交點，
利用上圖可知：當k∈（-∞，-4）時，方程無解；
當k∈（0，+∞）或k=-4時，方程有兩解；
當k=0時，方程有三解；
當k∈（-4，0）時，方程有四解；                    …（12分）
點評：此題主要考查偶函數的性質及其解析式的求法，利用數形結合的方法求方程解的個數，是一道基礎題；