Question

某設計部門承接一產品包裝盒的設計（如圖所示），客戶除了要求AB、BE邊的長分別為20cm和30cm外，還特別要求包裝盒必需滿足：①平面ADE⊥平面ADC；②平面ADE與平面ABC所成的二面角不小于60°；③包裝盒的體積盡可能大．若設計部門設計出的樣品滿足：∠ACB與∠ACD均為直角且AB長20cm，矩形DCBE的一邊長為30cm，請你判斷該包裝盒的設計是否能符合客戶的要求？說明理由．

Answer 1

分析：該包裝盒的樣品設計符合客戶的要求，先證明滿足條件①的要求，根據已知條件可證DE⊥面ADC，從而證得面ADE⊥面ADC，再證明滿足條件②、③的要求，根據矩形DCBE的一邊長為30cm，而直角三角形ABC的斜邊AB長為20cm，則BE=30，設BC=t，則AC=

400-t2

，以C為原點，CA、CB、CD分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系C-xyz，求出面ADE的一個法向量為n₁，而面ABC的一個法向量為n₂=（0，0，1），設面ADE與面ABC所成的二面角為θ，則cosθ≤

1

2

，求出t的范圍確保面ADE與面ABC所成的二面角不小于60°，然后表示四棱錐A-BCDE的體積，利用基本不等式求出取最值時的t，看是否滿足條件即可．

解答：解：該包裝盒的樣品設計符合客戶的要求．
以下證明滿足條件①的要求．
∵四邊形DCBE為矩形，∠ACB與∠ACD均為直角，
∴CB⊥AC且CB⊥DC∴CB⊥面ADC，
在矩形DCBE中，DE∥CB
∴DE⊥面ADC∴面ADE⊥面ADC…（3分）
以下證明滿足條件②、③的要求．
∵矩形DCBE的一邊長為30cm，
而直角三角形ABC的斜邊AB長為20cm，∴BE=30
設BC=t，則AC=

400-t2

，
以C為原點，CA、CB、CD分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系C-xyz，
則A(

400-t2

，0，0)，B（0，t，0），D（0，0，30），E（0，t，30），
設面ADE的一個法向量為n₁=（x，y，z），

DA

=(

400-t2

，0，-30)，

DE

=(0，t，0)
∵n1•

DA

=0且n1•

DE

=0
∴

400-t2 x-30z=0 ty=0

，取x=1，則n1=(1，0，

400-t2

30

)…（6分）
而面ABC的一個法向量為n₂=（0，0，1），
設面ADE與面ABC所成的二面角為θ，則cosθ≤

1

2

，
∴cosθ=|cos＜n1，n2＞|=

400-t2 30

1+ 400-t2 900 •1

≤

1

2

，∴t≥10，
即當t≥10時，面ADE與面ABC所成的二面角不小于60°．…（8分）
又，由∠ACB與∠ACD均為直角知，AC⊥面DCBE，該包裝盒可視為四棱錐A-BCDE，

∴VA-BCDE= 1 3 SBCDE•AC= 1 3 •30t• 400-t2 =10 t2(400-t2) ≤10 ( t2+400-t2 2 )2 =2000

當且僅當t²=400-t²，即t=10

2

cm時，V_A-BCDE的體積最大，最大值為2000cm³．…（12分）
而t=10

2

＞10，可以滿足面ADE與面ABC所成的二面角不小于60°的要求，
綜上，該包裝盒的設計符合客戶的要求．            …（13分）

點評：本題主要考查了面面垂直的判定，以及用空間向量求平面間的夾角和利用基本不等式求體積的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．