Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，，

則，

當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).

所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（2），則，

.

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，

由，得，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；

由，得，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).

則，不合乎題意；

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

.

不妨設(shè)，其中，令，則或.

（i）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).

此時(shí)，

而，

構(gòu)造函數(shù)，，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

即當(dāng)時(shí)，，所以，.

，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，

，符合題意；

③當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時(shí)，則，解得.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.