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已知橢圓C:x2+2y2=8和點P(4,1),過P作直線交橢圓于A、B兩點,在線段AB上取點Q,使=λ,=-λ,求動點Q的軌跡所在曲線的方程及點Q的橫坐標的取值范圍.

解:設A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),則由=λ,=-λ,

可得=,解之,得x=.①       

設直線AB的方程為y=k(x-4)+1,代入橢圓C的方程,消去y得出關于x的一元二次方程

(2k2+1)x2+4k(1-4k)x+2(1-4k)2-8=0.②

∴

代入①,化簡得x=.③       

與y=k(x-4)+1聯立,消去k得(2x+y-4)(x-4)=0.

在②中,由Δ=-64k2+64k+24＞0,

解得＜k＜.

結合③可求得＜x＜.

故知點Q的軌跡方程為2x+y-4=0(＜x＜).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|=2
5
，點(
5
，
4
3
)在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C上的一點p在第一象限，且滿足PF1⊥PF2，⊙O的方程為x2+y2=4．求點p坐標，并判斷直線pF2與⊙O的位置關系；
（3）設點A為橢圓的左頂點，是否存在不同于點A的定點B，對于⊙O上任意一點M，都有
MB
MA
為常數，若存在，求所有滿足條件的點B的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x2+y2=1上．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線過點M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點．試探討k為何值時，三角形OAB為直角三角形．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點F1、F2與短軸一端點的連線互相垂直，M為橢圓上任一點，且△MF1F2的面積最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設圓A：x2+y2=
2
3
的切線l與橢圓C交于P、Q兩點，求以坐標原點O及P、Q三點為頂點的△OPQ的外接圓面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C的離心率為
3
2
，A、B、F分別為橢圓的右頂點、上頂點、右焦點，且S△ABF=1-
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m被圓O：x2+y2=4所截弦長為2
3
，若直線l與橢圓C交于M、N兩點．求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
5
3
，短軸一個端點到右焦點的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上是否存在點P，使得過點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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