Question

8．如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是正方形，正三角形BCE的邊長為2，DE=2$\sqrt{2}$，F為線段CD上一點，G為線段BE的中點．
（1）求證：平面ABCD⊥平面BCE；
（2）求三棱錐A-EFG的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知結合勾股定理可得DC⊥EC，再由四邊形ABCD是正方形得DC⊥BC，由線面垂直的判定得DC⊥平面BCE；再由面面垂直的判定得平面ABCD∩平面BCE=BC；
（2）過E作EH⊥BC于H，由（1）可知EH⊥平面ABCD，求出FH，然后利用等積法求得三棱錐A-EFG的體積．

解答 （1）證明：由題意$DC=EC=2，ED=2\sqrt{2}$，∴DC²+EC²=ED²，得DC⊥EC，
又∵四邊形ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
又BC∩CE=C，∴DC⊥平面BCE；
又∵DC?平面ABCD，平面ABCD∩平面BCE=BC，
∴平面ABCD⊥平面BCE；
（2）解：過E作EH⊥BC于H，
由（1）可知EH⊥平面ABCD，$EH=\sqrt{3}$，
由題意${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}AB•AD=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴${V_{A-EFG}}={V_{E-AFG}}=\frac{1}{2}{V_{E-ABF}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S_{ABF}}×EH=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面、平面與平面垂直的判定，訓練了利用等積法求多面體的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．