Question

設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4．

Answer 1

分析：事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的可能取值是0，1，根據(jù)事件A發(fā)生的概率p，寫出事件A不發(fā)生的概率，表示出方差的表示式，化簡整理，應(yīng)用基本不等式求出最大值，結(jié)論得證．

解答：證明：∵ξ所有可能取的值為0，1．
P（ξ=0）=1-p，P（ξ=1）=p，
∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p
=p（1-p）≤(

p+(1-p)

2

)2=

1

4

．
結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的方差和基本不等式的應(yīng)用，是一個(gè)綜合題，考查同學(xué)們解題的能力，概率經(jīng)常與其他的知識(shí)點(diǎn)組合．