Question

設事件A發生的概率為P，若在A發生的條件下B發生的概率為P′，則由A產生B的概率為PP′，根據這一規律解答下題：一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤上有第0，1，2，3，…，100，共101站，設棋子跳到第n站的概率為P_n，一枚棋子開始在第0站（即P₀=1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若硬幣出現正面則棋子向前跳動一站，出現反面則向前跳動兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或100站（失敗）時，游戲結束．已知硬幣出現正反面的概率都為

1

2

．
（1）求P₁，P₂，P₃，并根據棋子跳到第n+1站的情況，試用P_n，P_n-1表示P_n+1；
（2）設a_n=P_n-P_n-1（1≤n≤100），求證：數列{a_n}是等比數列，并求出{a_n}的通項公式；
（3）求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

分析：（1）根據題意，則P₁即棋子跳到第一站，有一種情況，即擲出正面，故可求；P₂即棋子跳到第2站，有2種情況，即兩次擲出正面或一次擲出反面，故可求；P₃即棋子跳到第3站，有2種情況，即在第1站擲出反面，或在第2站擲出正面，故可求；P_n+1即棋子跳到第n站，有2種情況，即在第n-1站擲出反面，或在第n站擲出正面，則可得結論；
（2）由（1）知：Pn+1=

1

2

Pn+

1

2

Pn-1，可變形為Pn+1-Pn=-

1

2

(Pn-Pn-1)，故可得{P_n-P_n-1}表示等比數列，進而可得{a_n}的通項公式；
（3）玩該游戲獲勝，即求P₉₉由（2）知，P_n-P_n-1=(-

1

2

)n（2≤n≤100），利用疊加法可得Pn=

2

3

[1-

1

4

×(-

1

2

)n-1]
，令n=99，可得玩該游戲獲勝的概率．

解答：解：（1）根據題意，棋子跳到第n站的概率為P_n，
則P₁即棋子跳到第一站，有一種情況，即擲出正面，故P₁=

1

2

，
P₂即棋子跳到第2站，有2種情況，即兩次擲出正面或一次擲出反面，則P2=

1

2

P0+

1

2

P1=

3

4

，
P₃即棋子跳到第3站，有2種情況，即在第1站擲出反面，或在第2站擲出正面，則P3=

1

2

P1+

1

2

P2=

5

8

故P_n+1即棋子跳到第n站，有2種情況，即在第n-1站擲出反面，或在第n站擲出正面，則Pn+1=

1

2

Pn+

1

2

Pn-1
（2）由（1）知：Pn+1=

1

2

Pn+

1

2

Pn-1，
∴Pn+1-Pn=-

1

2

(Pn-Pn-1)，
∴{P_n-P_n-1}表示等比數列，其公比為-

1

2

又a1=P1-P0=-

1

2

，
∴an=(-

1

2

)n，1≤n≤100；
（3）玩該游戲獲勝，即求P₉₉
由（2）知，P_n-P_n-1=(-

1

2

)n（2≤n≤100），
∴P₂-P₁=

1

4

，
P₃-P₂=-

1

8

，…
P_n-P_n-1=(-

1

2

)n（2≤n≤100），
∴P_n-P₁=

1

4

-

1

8

+…+(-

1

2

)n
∴P_n-P₁=

1 4 [1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

∴Pn=

2

3

[1-

1

4

×(-

1

2

)n-1]
∴n=99時，P99=

2

3

[1-(

1

2

)100]．

點評：本題以實際問題為載體，考查概率的運用，解題的關鍵是理解若硬幣出現正面則棋子向前跳動一站，出現反面則向前跳動兩站，由此得出概率之間的關系．