Question

橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若，求直線PQ的方程；
（3）設（λ＞1），過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可設橢圓的方程為，列出關于a，b的方程組，解出a，b值，從而求得橢圓的方程及離心率；（2）由（1）可得A（3，0）．設直線PQ的方程為y=k（x-3）．將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量垂直條件即可求得k值，從而解決問題．
（2）先得出向量的坐標．由已知得方程組解得x₂，最后經計算得出即可．
解答：（1）解：由題意，可設橢圓的方程為．
由已知得
解得
所以橢圓的方程為，離心率．
（2）解：由（1）可得A（3，0）．
設直線PQ的方程為y=k（x-3）．由方程組
得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0
依題意△=12（2-3k²）＞0，得．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，①
．②
由直線PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]．③
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0．④
由①②③④得5k²=1，從而．
所以直線PQ的方程為或
（3）證明：．
由已知得方程組
注意λ＞1，解得
因F（2，0），M（x₁，-y₁），故=．
而，所以．
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．