Question

橢圓的中心是原點O，短軸長為2

3

，左焦點為F（-c，0）（c＞0），相應的準線l與x軸交于點A，且點F分

AO

的比為3，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設

AQ

=λ

AP

（λ＞1），點Q關于x軸的對稱點為Q′，求證：

FQ′

=-λ

FP

．

Answer 1

分析：（I）由題意可得2b=2

3

，

a2

c

-c=3c結合a²=b²+c²可求a，b，c，進而求橢圓的方程
（II）可先設PQ：y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-1，0）由PF⊥QF可得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
故需要聯立方程

y=k(x+4) 3x2+4y2=12

，可得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，進而可得x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

，x₁+x₂=-

32k2

3+4k2

，代入可求
（III）要證

FQ′

=-λ

FP

，只要證明P、F、Q三點共線且點F在線段PQ′上，

FQ′

與

FP

反向即可

解答：解：（I）由題意可得2b=2

3

，

a2

c

-c=3c
∵a²=b²+c²∴a=2，b=

3

∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（II）設PQ：y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-1，0）
∵PF⊥QF∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0∴（x₁+1）（x₂+1）+k² （x₁+4）（x₂+4）=0
∴（1+k²）x₁x₂+（1+4k²）（x₁+x₂）+（1+16k²）=0
聯立

y=k(x+4) 3x2+4y2=12

，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0
∴x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

，x₁+x₂=-

32k2

3+4k2

代入化簡得8k²=1∴k=±

2

4

．
∴直線PQ的方程為y=

2

4

（x+4）或y=-

2

4

（x+4）．
（III）如圖所示，

|QN|

|PM|

=

|AQ|

|AP|

=λ
又|QN|=2|QF|，|PM|=2|PF|∴

|QF|

|PF|

=λ
又|FQ′|=|FQ|∴

|FQ′|

|PF|

=λ
再

|QQ1|

|PP1|

=

|AQ|

|AP|

=λ∴

|Q′Q1|

|PP1|

=

|FQ′|

|PF|

=λ
又∠PP₁F=∠Q′Q₁F=90°
∴P、F、Q三點共線且點F在線段PQ′上，

FQ′

與

FP

反向．
∴

FQ′

=-λ

FP

．

點評：本題主要考查了橢圓的性質在橢圓的方程求解中的應用，直線與橢圓的位置關系的應用，屬于綜合性試題，考查了考試的邏輯推理與運算的能力