Question

從8名運動員中選4人參加4×100米接力賽，在下列條件下，各有多少種不同的排法？（用數字結尾）
（1）甲、乙兩人必須跑中間兩棒；
（2）若甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒；
（3）若甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒．

Answer 1

分析：（1）甲、乙兩人必須跑中間兩棒，甲和乙兩個人本身有一個排列，余下的兩個位置需要在6個人中選個排列
（2）甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒，需要從甲和乙兩個人中選出一個有C₂¹種結果，需要在第一和第四棒中選一棒，有C₂¹種結果，另外6個人要選三個在三個位置排列．
（3）首先甲和乙兩個人在相鄰的位置本身有A₂²種結果，其余6名同學選兩人三個元素在三個位置排列共有C₆²A₃³種結果，根據計數原理得到結果．

解答：解：（1）甲、乙兩人必須跑中間兩棒，甲和乙兩個人本身有一個排列，
余下的兩個位置需要在6個人中選2個排列
根據分步計數原理知道共有A₂²A₆²=60
（2）甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒，
需要從甲和乙兩個人中選出一個有C₂¹種結果，
需要在第一和第四棒中選一棒，有C₂¹種結果，
另外6個人要選三個在三個位置排列，根據計數原理共有C₂¹C₂¹A₆³=480
（3）∵甲、乙兩名同學必須入選，而且必須跑相鄰兩棒
∴首先甲和乙兩個人在相鄰的位置本身有A₂²種結果，
其余6名同學選兩人三個元素在三個位置排列共有C₆²A₃³種結果，
根據分步計數原理得到共有A₂²C₆²A₃³=180，

點評：本題考查的是排列問題，把排列問題包含在實際問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，把實際問題轉化為數學問題，解出結果以后再還原為實際問題．