Question

函數(shù)y=log_ax當x＞2 時恒有|y|＞1，則a的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．1＜a≤2
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性與底數(shù)的關系，進而對底數(shù)的范圍時行分類討論，分兩類解出使不等式恒成立的a的取值范圍，再求它們的并集．
解答：解：因為函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞）上總有|y|＞1，
所以a分兩種情況討論，即0＜a＜1與a＞1．
①當0＜a＜1時，函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞）上單調遞減，并且有|y|＞1恒成立，
即總有y＜-1，則只需函數(shù)的最大值小于-1即可，
因為區(qū)間（2，+∞）是開區(qū)間，
所以有，
解得：≤a＜1．
②當a＞1時，函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞）上單調遞增，并且有|y|＞1恒成立，
即總有y＞1，則只需函數(shù)的最小值大于1即可，
因為區(qū)間（2，+∞）是開區(qū)間，
所以有l(wèi)og_a2≥1，解得：1＜a≤2．
由①②可得
故選A．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握絕對值不等式與指、對不等式解答方法，即熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的有關性質，一般解指數(shù)、對數(shù)不等式時當?shù)讛?shù)是參數(shù)時一般需要對參數(shù)的范圍時進行分類討論，此題考查了恒成立問題（即求最值問題）與分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．