Question

設

a

，

b

是兩個非零向量，下列說法正確的是（　　）

• A．若|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |-|

  b

  |，則

  a

  ⊥

  b

• B．若

  a

  ⊥

  b

  ，則|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |-|

  b

  |
• C．若|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |-|

  b

  |，則存在實數λ，使得

  a

  =λ

  b

• D．若存在實數λ，使得

  a

  =λ

  b

  ，則|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |-|

  b

  |

Answer 1

分析：根據選擇項知需要判斷命題的真假，由數量積運算將|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|兩邊平方后化簡說明C正確、A錯、B錯，再對

a

=λ

b

兩邊取模后，代入|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|進行驗證D錯．

解答：解：設非零向量

a

，

b

的夾角是θ，
①將|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|兩邊平方得，

a

2+

b

2+2

a

•

b

=|

a

|2+|

b

|2-2|

a

||

b

|，
即2

a

•

b

=-2|

a

||

b

|，得cosθ=-1，
則

a

，

b

是共線向量，即存在實數λ，

a

=λ

b

，則C正確，A錯；
另：當

a

⊥

b

時，有

a

•

b

=0，代入2

a

•

b

=-2|

a

||

b

|，顯然不成立，故B錯；
②存在實數λ，

a

=λ

b

時，
則|

a

+

b

|=|1+λ||

b

|，|

a

|-|

b

|=(|λ|-1)|

b

|，
故|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|不一定成立，故D錯．
故選C．

點評：本題考查了向量的平方就是向量模的平方應用，以及數量積的運算，考查了分析問題和解決問題的能力．