Question

現有m（m≥2）個不同的數P₁、P₂、P₃、…、P_n．將他們按一定順序排列成一列．對于其中的兩項P_i和P_j，若滿足：1≤i＜j≤m且P_i＞P_j（即前面某數大于后面某數），則稱P_i與P_j構成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列（n+1）、n、（n-1）、…3、2、1的逆序數為a_n．如排列2、1的逆序數a₁=1，排列3、2、1的逆序數a₂=3．
（1）求a₃、a₄、a₅；
（2）求a_n的表達式；
（3）令，證明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件我們用列舉法易得a₃、a₄、a₅
（2）根據（1）的結論及a₁、a₂的值，我們利用歸納推理不難得到a_n的表達式
（3）要證明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，關鍵要根據（2）的結論及，將bn表達出來，并利用數列求和的方法解決問題．
解答：解：（I）由已知得a₃=6，a₄=10，a₅=15，
（II）∵a₁=1，
a₂=3=2+1，
a₃=6=3+2+1，
a₄=10=4+3+2+1，
a₅=15=5+4+3+2+1，
…
∴不妨猜想
（III）因為，
又因為，，
所以b₁+b₂+…+b_n=
=．
綜上，b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，．
點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），（3）中將bn表達出來，利用數列求和的方法不難給出b₁+b₂+…+b_n的表達式，但要想證明出結果，要使用不等式的傳遞性（放縮法）進行證明．