Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=6，側棱長AA1=2

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，它的外接球的球心為O，點E是AB的中點，點P是球O的球面上任意一點，有以下判斷，
（1）PE長的最大值是9；（2）三棱錐P-EBC的最大值是

32

3

；（3）存在過點E的平面，截球O的截面面積是3π；（4）三棱錐P-AEC₁體積的最大值是20．
正確的是

 

．

Answer 1

分析：（1）先求出球的半徑，然后求PE的長+半徑；
（2）P到平面EBC的距離+半徑就是P到平面EBC的距離最大值；
（3）求出截球O的截面面積是3π，可以判斷（3）的正確性
（4）三棱錐P-AEC₁體積的表達式，再求最大值；判斷（4）的正確性．

解答：解：由題意可知球心在體對角線的中點，直徑為：

62+62+(2 7 )2

=10
半徑是5，（1）PE長的最大值是：5+

52-32

=9，正確；
（2）P到平面EBC的距離最大值是5+

52-(3 2 )2

=5+

7

，錯誤；
（3）球的大圓面積是25π，過E與球心連線垂直的平面是小圓，面積為9π，因而（3）是錯誤的．
（4）三棱錐P-AEC₁體積的最大值是V=

1

3

S△AEC1•h=

1

3

×

1

2

×3×8×5=20（h最大是半徑）正確．
故答案為：（1）（4）

點評：本題考查棱柱的結構特征，點、到線、到面的距離，體積問題，外接體問題，是中檔題．