Question

為了學生的全面發展，某中學在高一學年是推行“合理作業”（合理作業是指：放學后學生每天完成作業的時間不超過兩小時）活動．高一學年共有學生2000人，其中男生1200人，女生800人，為了調查2012年3月（按30天計算）學生“合理作業”的天數情況，通過分層抽樣的方法抽取了40人作為樣本，統計他們在該月30天內“合理作業”的天數，并將所得的數據分成以下六組：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）求抽取的40人中男生、女生的人數；
（2）在抽取的40人中任取3人，設ξ為取出的三人中“合理作業”天數超過25天的人數，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 抽取的40人中男生人數=，抽取的40人中女生人數=，由此能求出結果．
（Ⅱ）由抽取的40人中“合理作業”天數超過25天的人數=0.01×5×40=2人，知ξ的可能取值為0，1，2，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）．由此能求出ξ的分布列及數學期望Eξ．
解答：解：（Ⅰ） 抽取的40人中男生人數==24人；
抽取的40人中女生人數==16人．
∴抽取的40人中男生人數為24人，女生人數為16人．…（4分）
（Ⅱ）∵抽取的40人中“合理作業”天數超過25天的人數=0.01×5×40=2人，
ξ為取出的三人中“合理作業”天數超過25天的人數，
∴ξ的可能取值為0，1，2，
∴P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==．
∴ξ的分布列為：

ξ		1	2
P

…（8分）
E（ξ）=0×+1×+2×=0.15．…（12分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意頻率分布直方圖的合理運用．