Question

（1）證明：當x∈[0，1]時，；
（2）若不等式對x∈[0，1]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）記F（x）=sinx-x，可求得F′（x）=cosx-，分x∈（0，）與x∈（，1）兩類討論，可證得當x∈[0，1]時，F（x）≥0，即sinx≥x；記H（x）=sinx-x，同理可證當x∈（0，1）時，sinx≤x，二者結合即可證得結論；
（2）利用（1），可求得當x∈[0，1]時，ax+x²++2（x+2）cosx-4≤（a+2）x，分a≤-2與a＞-2討論即可求得實數a的取值范圍．
解答：（1）證明：記F（x）=sinx-x，則F′（x）=cosx-．
當x∈（0，）時，F′（x）＞0，F（x）在[0，]上是增函數；
當x∈（，1）時，F′（x）＜0，F（x）在[，1]上是減函數；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以當x∈[0，1]時，F（x）≥0，即sinx≥x…3
記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1＜0，所以H（x）在[0，1]上是減函數；則H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
綜上，x≤sinx≤x…5
（2）∵當x∈[0，1]時，ax+x²++2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+-4（x+2）
≤（a+2）x+x²+-4（x+2）
=（a+2）x，
∴當a≤-2時，不等式ax+x²++2（x+2）cosx≤4對x∈[0，1]恒成立，…9
下面證明，當a＞-2時，不等式ax+x²++2（x+2）cosx≤4對x∈[0，1]不恒成立．
∵當x∈[0，1]時，ax+x²++2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+-4（x+2）
≥（a+2）x+x²+-4（x+2）
=（a+2）x-x²-
≥（a+2）x-x²
=-x[x-（a+2）]．
所以存在x∈（0，1）（例如x取和中的較小值）滿足
ax+++2（x+2）cosx-4＞0，
即當a＞-2時，不等式ax+x²++2（x+2）cosx≤4對x∈[0，1]不恒成立．
綜上，實數a的取值范圍是（-∞，-2]．
點評：本題考查不等式的證明，突出考查利用導數研究函數的單調性及函數恒成立問題，考查分類討論思想與等價轉化思想的綜合應用，屬于難題．