Question

已知不過坐標原點的直線與拋物線相交于、兩點，且，于.
①求證：直線過定點；　　　　
②求點的軌跡方程.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

（1）為避免對斜率不存在情況的討論，可以設直線方程為,然后根據題目給的方程條件,即可確定b的值或找到b與t的關系,進而確定定點.
(2)由于第一問確定了定點C（2,0）,然后可知點E在以OC為直徑的圓上.求出此圓的方程即可.
也要利用交軌法求其軌跡方程.
解：令直線與拋物線相交于、兩點
　　　　　　　　　（給直線方程給分）　　　　　　　　　　……………………1分
　　　　　　　 ……………………2分
于是，、是此方程的兩實根，由韋達定理得：
　　　　　　　　　　　 ……………………3分
　　  …………4分
又　　　　　　　      　　……………………5分
∴                          ……………………6分
故直線：過定點　　　　　　　　　  ……………………8分
②∵,,                       ……………………9分
∴點的軌跡是以線段為直徑的圓除去點，　　　　　……………………11分
故點的軌跡方程為 　　　　　　……………………12分
說明：直線的方程設為又沒有討論不存在的情況扣2分；軌跡方程中沒有限制    扣1分.