Question

把正奇數數列{2n-1}中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數表：設a_ij（i，j∈N*）是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數．
（I）若a_mn=2005，求m，n的值；
（II）已知函數f（x）的反函數為f^-1（x）=8ⁿx³（x＞0），若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為b_n，求數列{f（b_n）}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（I）∵三角形數表中前m行共有1+2+3++m=個數，（1分）
∴第m行最后一個數應當是所給奇數列中的第項．
故第m行最后一個數是2•+m-1（2分）
因此，使得a_mn=2005的m是不等式m²+m-1≥2005的最小正整數解．
由m²+m-1≥2005得m²+m-2006≥0（3分）
∴m≥=44∴m=45（4分）
于是，第45行第一個數是44²+44-1+2=1981（5分）
∴n=+1=13（6分）
（II）∵f^-1（x）=8ⁿx³=y（x＞0），
∴．故（x＞0）（7分）
∵第n行最后一個數是n²+n-1，且有n個數，若將n²+n-1看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為-2的等差數列，
故b_n=n（n²+n-1）+（9分）
∴（10分）
故S_n=
∵，（11分）
兩式相減得：（12分）
=（13分）
∴（14分）
分析：（I）三角形數表中前m行共有1+2+3++m=個數，第m行最后一個數應當是所給奇數列中的第項．故第m行最后一個數是．由此入手能夠求出m，n的值；
（II）f^-1（x）=8ⁿx³=y（x＞0），．故，第n行最后一個數是n²+n-1，且有n個數，若將n²+n-1看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為-2的等差數列，故．由此入手能夠求出數列{f（b_n）}的前n項和S_n．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用，解題時要認真審題，仔細仔細解答．