Question

（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,點E是SD上的點，且DE＝a(0<≦1).      

(Ⅰ)求證：對任意的（0、1），都有AC⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為60⁰C，求的值。

Answer 1

（I）見解析（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）證法1：如圖1，連接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

  SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE

（Ⅱ）解法1：如圖1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,

  SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。

 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.

連接AE、CE，過點D在平面SAD內作DE⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，

故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。

在Rt△BDE中，BD=2a，DE=

在Rt△ADE中,

從而

在中，.                  

由，得.

由，解得，即為所求.

證法2：以D為原點，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如

     圖2所示的空間直角坐標系，則

     D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），

    

     ，                 

     即。

解法2：

由（I）得.

設平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得

。

       易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為.

         .                  

          0<，，

          .

          由于，解得，即為所求。