Question

（2012•浙江）若將函數f（x）=x⁵表示為f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，其中a₀，a₁，a₂，…a₅為實數，則a₃=

10

．

Answer 1

分析：將x⁵轉化[（x+1）-1]⁵，然后利用二項式定理進行展開，使之與f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵進行比較，可得所求．

解答：解：f（x）=x⁵=[（x+1）-1]⁵=

C

0 5

（x+1）⁵+

C

1 5

（x+1）⁴（-1）+

C

2 5

（x+1）³（-1）²+

C

3 5

（x+1）²（-1）³+

C

4 5

（x+1）¹（-1）⁴+

C

5 5

（-1）⁵
而f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，
∴a₃=

C

2 5

（-1）²=10
故答案為：10

點評：本題主要考查了二項式定理的應用，解題的關鍵利用x⁵=[（x+1）-1]⁵展開，同時考查了計算能力，屬于基礎題．