Question

（本小題滿分14分）

    已知函數．

    ⑴若，求曲線在點處的切線方程；

    ⑵若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；

    ⑶設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解:⑴當時，函數，．，曲線在點處的切線的斜率為．從而曲線在點處的切線方程為，即．

    ⑵．令，要使在定義域內是增函數，只需在內恒成立．由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，只需，即時，∴在內為增函數，正實數的取值范圍是．

    ⑶∵在上是減函數，∴時，；時，，即，

    ①當時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側，且，所以在內是減函數．當時，，因為，所以，，此時，在內是減函數．故當時，在上單調遞減，不合題意；

    ②當時，由，所以．又由⑵知當時，在上是增函數，∴，不合題意；

    ③當時，由⑵知在上是增函數，，又在上是減函數，故只需，，而，，即，解得，所以實數的取值范圍是．

 

【解析】略