Question

【題目】已知函數，是奇函數．

（1）求，的值；

（2）證明：是區間上的減函數；

（3）若，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由于函數是奇函數，且有意義，則，定義域關于原點對稱，列出方程，即可得到，；（2）運用單調性的定義，注意作差、變形，同時運用指數函數的單調性，即可判斷符號，得到結論成立；（3）運用奇函數的定義和函數是區間上的減函數，得到不等式組，注意定義域的運用，解出它們即可得到范圍．

（1）∵函數，是奇函數，

∴，且，

即，.

（2）證明：由（1）得，，

設任意且，

∴ ，

∵，∴，∴，

又∵，，

∴，∴.

∴是區間上的減函數．

（3）∵，

∴，

∵奇函數，∴，

∵是區間上的減函數，

∴即有，

∴，

則實數的取值范圍是.