Question

（本小題滿分14分）
已知二次函數滿足以下兩個條件：
①不等式的解集是（-2，0）  ②函數在上的最小值是3 
（Ⅰ）求的解析式；
 （Ⅱ）若點在函數的圖象上，且
（ⅰ）求證：數列為等比數列
（ⅱ）令，是否存在正實數，使不等式對于一切的恒成立？若存在，指出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=" x" ² + 2 x  .
（Ⅱ）（�。┮娊馕�；（ⅱ） 

試題分析：（Ⅰ）因為根據題意可知f（x）< 0 的解集為（-2，0），且f（x）是二次函數
因此可設  f（x）=" a" x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的對稱軸為直線 ，
f（x）在 [1，2]上的最小值為f（1）="3a" ="3" ，得到參數a的值。
（Ⅱ）（�。┮驗辄c（a _n , a _{n + 1} ）在函數f（x）=" x" ² + 2 x 的圖象上
∴得到遞推關系式 a _{n + 1}  =" a" _n ² + 2 a _n  , 構造等比數列求解通項公式。
（ⅱ）由上題可知，要使得不等式恒成立，即對于一切的恒成立，轉換為二次不等式求解。
解：（Ⅰ）∵ f（x）< 0 的解集為（-2，0），且f（x）是二次函數
∴ 可設  f（x）=" a" x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的對稱軸為直線 ，
∴  f（x）在 [1，2]上的最小值為f（1）="3a" ="3" ，
∴ a =" 1" ，所以f（x）=" x" ² + 2 x  .
（Ⅱ）（ⅰ）∵ 點（a _n , a _{n + 1} ）在函數f（x）=" x" ² + 2 x 的圖象上，
∴ a _{n + 1}  =" a" _n ² + 2 a _n  ,則 1 + a _{n + 1}  =" 1" + a _n ² + 2 a _n = （1 + a _n）² 
∴ , 又首項
∴ 數列 為等比數列，且公比為2 。
（ⅱ）由上題可知，要使得不等式恒成立，即對于一切的恒成立，
法一：對一切的恒成立，
令，
∵在是單調遞增的，∴的最小值為
＝     所以 
法二：
設
當時，由于對稱軸直線，且 ，而函數在 是增函數，∴不等式恒成立
即當時，不等式對于一切的恒成立
點評：解題時要注意對于不等式恒成立問題的等價轉化為一元二次不等式問題。