Question

已知，a∈R，函數f（x）=x|x-a|．
（1）當a＞2時，求函數y=f（x）在區間[1，2]上的最小值；
（2）設a≠0，若函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍．（用a表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）化簡函數f（x）的解析式為-+，分∈[1，2]、＞2 兩種情況，分別求出它的最小值．
（2）a≠0，f（x）=，分a＞0和a＜0兩種情況，分別畫出函數f（x）的圖象，結合圖象，根據題中要求，分別求出m、n的取值范圍．
解答：解：（1）∵a＞2，x∈[1，2]，∴f（x）=x|x-a|=-x²+ax=-+．
由于 4≥a＞2，即當∈[1，2]時，則當 x= 時，f_min（x）=．
當＞2 時，即a＞4時，f（x）在∈[1，2]上是減函數，
當x=2時，f（x）有最小值為f_min（x）=-+=2a-4．
綜上可得，f_min（x）=．
（2）a≠0，f（x）=．
①當a＞0時，f（x）的圖象如圖1所示：由，解得x=，
由于函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜，a＜n≤．
   圖1  圖2 
 
②當a＜0時，如圖2所示：由 解得 x=．

由于函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，故有 ≤m＜a，＜n≤0．
點評：本題主要考查帶有絕對值的函數圖象和性質，二次函數的性質應用，體現了分類討論和數形結合的數學思想，屬于中檔題