Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_2n+1=qa_2n-1+d（d∈R，q∈R 且q≠0，n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_2n-1}是等比數(shù)列，求q與d滿足的條件；
（2）當(dāng)d=0，q=2時(shí)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，第1次向右運(yùn)動(dòng)，第2次向上運(yùn)動(dòng)，第3次向左運(yùn)動(dòng)，第4次向下運(yùn)動(dòng)，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運(yùn)動(dòng)，設(shè)第n次運(yùn)動(dòng)的位移是a_n，第n次運(yùn)動(dòng)后，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)P_n（x_n，y_n），求數(shù)列{n•x_4n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a₁=1，a_2n+1=qa_2n-1+d（d∈R，q∈R 且q≠0，n∈N^*），若數(shù)列{a_2n-1}是等比數(shù)列，分d=0與d≠0討論解決；
（2）當(dāng)d=0，q=2時(shí)，可求得，于是x₄=a₁-a₃=1-2，，…，從而求得x_4n=，S_n=x₄+2x₈+3x₁₂+…+（n-1）•x_4（n-1）+n•x_4n利用錯(cuò)位相減法可求得s_n．
解答：解：（1）∵a₁=1，a_2n+1=qa_2n-1+d，q≠0，
①當(dāng)d=0時(shí)，a_2n+1=qa_2n-1，顯然{a_2n-1}是等比數(shù)列；
②當(dāng)d≠0時(shí)，a₃=qa₁+d=q+d，a₅=qa₃+d=q（q+d）+d．
∵數(shù)列{a_2n-1}是等比數(shù)列，
∴，即（q+d）²=q（q+d）+d，化簡得q+d=1．
此時(shí)有a_2n+1=qa_2n-1+1-q，得a_2n+1-1=q（a_2n-1-1），
由 a₁=1，q≠0，得a_2n-1=1（n∈N^*），則數(shù)列{a_2n-1}是等比數(shù)列．
綜上，q與d滿足的條件為d=0（q≠0）或q+d=1（q≠0，d≠0）．
（2）當(dāng)d=0，q=2時(shí)，
∵a_2n+1=2a_2n-1，
∴，
依題意得：x₄=a₁-a₃=1-2，，…，
∴．
∴．
∴．
∴S_n=x₄+2x₈+3x₁₂+…+（n-1）•x_4（n-1）+n•x_4n==．
令①
4T_n=1×2⁴+2×2⁶+3×2⁸+…+（n-1）•2²ⁿ+n•2²ⁿ⁺²②
①-②得==．
∴．
∴．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，難點(diǎn)在于（2）x_4n的計(jì)算，著重考查數(shù)列求和，突出考查等差與等比數(shù)列的公式法求和及錯(cuò)位相減法求和，屬于難題．