Question

【題目】水污染現狀與工業廢水排放密切相關，某工廠深人貫徹科學發展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經過A系統處理，處理后的污水（A級水）達到環保標準（簡稱達標）的概率為p（0<p<1）.經化驗檢測，若確認達標便可直接排放；若不達標則必須進行B系統處理后直接排放.

某廠現有4個標準水量的A級水池，分別取樣、檢測，多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有樣本不達標，則混合樣本的化驗結果必不達標，若混合樣本不達標，則該組中各個樣本必須再逐個化驗；若混合樣本達標，則原水池的污水直接排放

現有以下四種方案：

方案一：逐個化驗；

方案二：平均分成兩組化驗；方案三；三個樣本混在一起化驗，剩下的一個單獨化驗；

方案四：四個樣本混在一起化驗.

化驗次數的期望值越小，則方案越"優".

（1）若，求2個A級水樣本混合化驗結果不達標的概率；

（2）①若，現有4個A級水樣本需要化驗，請問：方案一、二、四中哪個最“優"？②若“方案三”比“方案四"更“優”，求p的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①方案四最優；②

【解析】

（1）計算2個A級混合樣本達標的概率，再根據對立事件原理求得它們不達標的概率；

（2）①計算方案一：逐個檢測，檢測次數為ξ＝4；方案二：檢測次數為ξ2，則ξ2可能取值為2，4，6，求概率分布列，計算數學期望；方案四：混在一起檢測，檢測次數為ξ4，則ξ4可取值為1，5，求概率分布列，計算數學期望；比較得出選擇方案幾最“優”；

②方案三：化驗次數為η3，則η3可取值為2，5，求概率分布列，計算數學期望；

方案四：化驗次數為η4，則η4可取值為1，5，求概率分布，計算數學期望；

由題意列不等式E（η3）＜E（η4），求出p的取值范圍．

(1)該混合樣本達標的概率是，所以根據對立事件原理，不達標的概率為.

(2)①方案一：逐個檢測，檢測次數為4.

方案二：由(1)知，每組兩個樣本檢測時，若達標則檢測次數為1，概率為；若不達標則檢測次數為3，概率為.故方案二的檢測次數記為ξ2，ξ2的可能取值為2,4,6.

其分布列如下，

可求得方案二的期望為

方案四：混在一起檢測，記檢測次數為ξ4，ξ4可取1,5.

其分布列如下，

可求得方案四的期望為.

比較可得，故選擇方案四最“優”.

②方案三：設化驗次數為，可取2,5.

；

方案四：設化驗次數為，可取

；

由題意得.

故當時，方案三比方案四更“優”.