Question

【題目】已知函數，

（Ⅰ）若在函數的定義域內存在區間，使得該函數在區間上為減函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求實數的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）對函數求導，由函數在區間上為減函數，等價于在上有解，對進行分類討論，從而可得實數的取值范圍；（Ⅱ）根據導數的幾何意義求得切線的方程，由切線與曲線有且只有一個公共點，等價于方程在上有且只有一解，從而設，則在上有且只有一個零點，求出函數有零點，然后討論當時，時，利用導數研究函數的單調性，利用函數的零點，即可求出實數的值或取值范圍．

詳解：（Ⅰ）因為.

依題意知在上有解．

當時顯然成立；

當時，由于函數的圖象的對稱軸，

故需且只需，即，解得，故．

綜上所述，實數的取值范圍為．

（Ⅱ）因為，，故切線的方程為，即．

從而方程在上有且只有一解．

設，則在上有且只有一個零點．

又，故函數有零點．

∵．

當時，，又不是常數函數，故在上單調遞增．

所以函數有且只有一個零點，滿足題意．

當時，由，得或，且．

由，得或；

由，得．

所以當在上變化時，，的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

根據上表知．

而函數．

所以，故在上，函數又存在一個零點，不滿足題意．

綜上所述，．