Question

（2003•北京）已知函數f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（I）根據平方關系、二倍角、兩角和的余弦公式化簡解析式，再求出函數的周期；
（Ⅱ）根據余弦函數的最大值和最小值，求出此函數對應的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x

=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x= 2 cos(2x+ π 4 )

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由（I）知，f(x)=

2

cos(2x+

π

4

)，
當2x+

π

4

=2kπ（k∈z）時，cos(2x+

π

4

)=1，f（x）取到最大值為

2

，
當2x+

π

4

=π+2kπ（k∈z）時，cos(2x+

π

4

)=-1，f（x）取到最小值為-

2

．

點評：本小題主要考查三角函數的倍角、和角公式，以及余弦函數的性質等基本知識，考查運算能力，