Question

（2003•北京）已知函數f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據平方關系、二倍角、兩角和的余弦公式化簡解析式，再求出函數的周期；
（Ⅱ）由x的范圍求出“2x+

π

4

”的范圍，再根據余弦函數的最值，求出此函數的最值以及x的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x

=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x= 2 cos(2x+ π 4 )

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

當2x+

π

4

=

π

4

時，f（x）取最大值為

2

2

，
當2x+

π

4

=π時，f（x）取最小值為-1
∴f(x)=

2

cos(2x+

π

4

)的最大值為1，最小值為-

2

點評：本小題主要考查三角函數的倍角、和角公式，以及余弦函數的性質等基本知識，考查運算能力．