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設(shè)函數(shù)f(x)=a•sin(x+α1)+b•sin(x+α2),其中a,b,α1,α2為已知實(shí)常數(shù),下列關(guān)于函數(shù)f(x)的性質(zhì)判斷正確的命題的序號(hào)是
①②③
①②③

①若f(0)=f(
π
2
)=0
,則f(x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立;
②若f(0)=0,則函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
③若f(
π
2
)=0
,則函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
分析:先由f(0)=0,得出a•sin(α1)+b•sin(α2)=0,要判斷函數(shù)為奇函數(shù),只需驗(yàn)證f(-x)+f(x)=0;然后由f(
π
2
)=0,得出-a•cos(α1)-b•cos(α2)=0,要判斷函數(shù)為偶函數(shù),只需驗(yàn)證f(-x)-f(x)=0,從而得到f(0)=f(
π
2
)=0
時(shí)的結(jié)論.
解答:解:若f(0)=0,則f(0)=a•sin(α1)+b•sin(α2)=0,
f(-x)+f(x)=a•sin(-x+α1)+b•sin(-x+α2)+a•sin(x+α1)+b•sin(x+α2)=0,
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
若f(
π
2
)=0,則f(
π
2
)=a•sin(
π
2
1)+b•sin(
π
2
2)=-a•cos(α1)-b•cos(α2)=0,
∴f(-x)-f(x)=a•sin(-x+α1)+b•sin(-x+α2)-a•sin(x+α1)-b•sin(x+α2)=0,
∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
對(duì)于①若f(0)=f(
π
2
)=0,則函數(shù)f(x)為奇函數(shù),也為偶函數(shù),∴f(x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立;
對(duì)于②,若f(0)=0,則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)為真命題;
對(duì)于③,若f(
π
2
)=0
,則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)為真命題.
故答案為:①②③
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了命題的真假的判定,以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查新定義三角函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是一一判斷,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=A+Bsinx,若B<0時(shí),f(x)的最大值是
3
2
,最小值是-
1
2
,則A=
 
,B=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
其中向量
a
=(2cosx,1),b=(cosx,
3
sin2x+m)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,
π
6
]
時(shí),f(x)的最大值為4,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a+bcosx+csinx的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(
π
2
,1)
,當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時(shí),|f(x)|<2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A、-
2
<a≤1
B、1≤a<4+3
2
C、-
2
<a<4+3
2
D、-a<a<2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
,其中向量
a
=(2cosx,1),
b
=(cosx,-1)(x∈R).
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若f(A)=-
1
2
,且a=
3
,b+c=3,(b>c),求b與c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinωx+cosωx,sinωx)
b
=(sinωx-cosωx,2
3
cosωx),設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
(x∈R)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
π
3
對(duì)稱(chēng),其中常數(shù)ω∈(0,2)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移
π
12
個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,用五點(diǎn)法作出函數(shù)g(x)在區(qū)間[-
π
2
π
2
]的圖象.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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