Question

過雙曲線

x2

3

-

y2

6

=1的右焦點F₂，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，F₁為左焦點．
（1）求|AB|；
（2）求△AOB的面積；
（3）求證：|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線的標準方程，確定焦點坐標，進而可得直線AB的方程，與雙曲線聯立，利用韋達定理，可計算|AB|；
（2）求出原點O到直線AB的距離，即可求得△AOB的面積；
（3）利用雙曲線的定義，即可證得結論．

解答：（1）解：由雙曲線的方程得a=

3

，b=

6

，
∴c=

a2+b2

=3，F₁（-3，0），F₂（3，0）．
∴直線AB的方程為y=

3

3

（x-3）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y= 3 3 (x-3) x2 3 - y2 6 =1

得5x²+6x-27=0．
∴x₁+x₂=-

6

5

，x₁x₂=-

27

5

．
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+ 1 3

•

36 25 + 108 5

=

16 3

5

（2）解：直線AB的方程變形為

3

x-3y-3

3

=0．
∴原點O到直線AB的距離為d=

|-3 3 |

( 3 )2+(-3)2

=

3

2

．
∴S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

16 3

5

×

3

2

=

12 3

5

．…（8分）
（3）證明：如圖，由雙曲線的定義得
|AF₂|-|AF₁|=2

3

，|BF₁|-|BF₂|=2

3

，
∴|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|…（12分）

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．