Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，1），且它的離心率與雙曲線

x2

3

-y²=1的離心率互為倒數．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A且斜率為k的直線l與橢圓相交于A、B兩點，點M在橢圓上，且滿足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線的標準方程，可得其離心率，進而根據題設可求得橢圓的離心率．再根據橢圓的頂點A的坐標，進而可求得b和a，橢圓的方程可得．
（2）先設直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n），直線和橢圓相交，聯立方程可得含有k的一元二次方程，再根據韋達定理可知x₁+x₂和x₁•x₂，再根據

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，用點A，B表示點M，代入橢圓的標準方程可得k．

解答：解：（1）∵雙曲線-y²=1的離心率為

2 3

3

，
∴橢圓的離心率為

3

2

．
又∵b=1，∴a=2．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．
（2）設直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，x₁•x₂=0．
∵

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，
∴m=

1

2

（x₁+

3

x₂），n=

1

2

（y₁+

3

y₂），
∵點M在橢圓上，∴m²+4n²=4，
∴

1

4

（x₁+

3

x₂）²+（y₁+

3

y₂）²
=

1

4

[（x₁²+4y₁²）+3（x₂²+4y₂²）+2

3

x₁x₂+8y₁y₂]
=[4+12+8y₁y₂]=4．
∴y₁y₂=0，
∴（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=k•（-

8k

1+4k2

）+1=0，
即k²=

1

4

，∴k=±

1

2

．
此時△=（8k）²-4（1+4k²）×0=64k²=16＞0
∴k的值為±

1

2

．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程問題．當研究橢圓和直線的關系的問題時，常可利用聯立方程，進而利用韋達定理來解決．