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已知數列是首項為1,公差為的等差數列,數列是首項為1,公比為的等比

數列.

(1)若,求數列的前項和;

(2)若存在正整數,使得.試比較的大小,并說明理由.

 

【答案】

(1) ;(2) 當時,;當時,;當時,

【解析】

試題分析:(1)利用基本量思想求解兩個數列的通項公式,然后才有錯位相減法求解數列的前項和;(2)利用等量關系關系,減少公差d,進而將進行表示,然后才有作差比較進行分析,注意分類討論思想的應用.

試題解析:(1)依題意,,

,

所以,                                        3分

,                   ①

  則,          ②

②得,,

所以.                                           7分

(2)因為,

所以,即,

,

,                                                          9分

所以

                                                                            11分

(ⅰ)當時,由

,                                                   13分

(ⅱ)當時,由

綜上所述,當時,;當時,;當時,.       16分

(注:僅給出“時,時,”得2分.)

方法二:(注意到數列的函數特征,運用函數性質求解)

(易知),

,有,,

,則.記

,則在,函數上為單調增函數,則,

這與相矛盾;

,則在,函數上為單調減函數,則,

這與相矛盾;

所以,

故在,函數上為單調減函數,

,函數上為單調增函數.

因為,所以,當時,,當時,,

所以,當時,,即,

時,,即,

綜上所述,當時,;當時,;當時,

考點:1.等差和等比數列的通項公式;2.數列求和;3.大小比較.

 

練習冊系列答案
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    已知數列是首項為1的等差數列,且, 若

   成等比數列.

(1)求數列的通項公式;(2)設,求數列的前項和

 

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