Question

如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結論中正確的是________．

(把你認為正確的結論都填上)

①BD∥平面CB1D1；

②AC1⊥平面CB1D1；

③AC1與底面ABCD所成角的正切值是；

④二面角C—B1D1－C1的正切值是；

⑤過點A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條．

Answer 1

①②④

【解析】

試題分析：如下圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1 中，

由于BD∥B1D1 ，由直線和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正確．

由正方體的性質可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面 ACC1A1，故 B1D1⊥AC1．

同理可得 B1C⊥AC1．再根據直線和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正確．

AC1與底面ABCD所成角的正切值為，故③不正確．

取B1D1 的中點M，則∠CMC1 即為二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1=，故④正確．

如下圖，由于異面直線AD與CB1成45°的二面角，過A1 作MN∥AD、PQ∥CB1，設MN與PQ確定平面α，∠PA1M=45°，過A1 在面α上方作射線A1H，

則滿足與MN、PQ 成70°的射線A1H有4條：滿足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一條，滿足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一條，滿足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一條，

滿足QA1H=∠MA1H=70°的有一條．故滿足與MN、PQ 成70°的直線有4條，故過點A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有4條，故⑤不正確．

故答案為 ①②④．

考點：①二面角的定義及求法；②直線和平面平行的判定；③直線和平面垂直的判定；④異面直線的判定.