Question

【題目】已知是定義在上的函數，如果存在常數，對區間的任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對差有界函數”，注：.

（1）求證：函數在上是“絕對差有界函數”；

（2）記集合存在常數，對任意的，有成立.

求證：集合中的任意函數為“絕對差有界函數”；

（3）求證：函數不是上的“絕對差有界函數”.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）將整理為，可知在上單調遞增；可知，從而可將化簡為，從而可知，得到結論；（2）取，根據，可得，從而可取得到結論；（3）取一個劃分：，可將整理為；根據放縮可知只要足夠大，可使得，從而得到結論.

（1）

當時，

在區間上為單調遞增函數

當，時，有，

所以

從而對區間的任意劃分：

存在，使得成立

綜上，函數在上是“絕對差有界函數”

（2）證明：任取

從而對區間的任意劃分：

和式成立

則可取

所以集合中的任意函數為“絕對差有界函數”

（3）取區間的一個劃分：，

則有：

所以對任意常數，只要足夠大，就有區間的一個劃分：

滿足

所以函數不是的“絕對差有界函數”