Question

已知的定義域是[0，4]．

（1）若f（x）的極值點是x=3，求a的值；

（2）若f（x）是單峰函數，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a=1或a=3．（2）[）．

【解析】

試題分析：（1）由，知f′（x）=x2﹣4ax+3a2，由f（x）的極值點是x=3，知f′（3）=9﹣12a+3a2=0，由此能求出a．

（2）f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣a）（x﹣3a），結合f（x）是單峰函數，分類討論，能夠求出a的取值范圍．

【解析】
（1）∵，

∴f′（x）=x2﹣4ax+3a2，

∵f（x）的極值點是x=3，

∴f′（3）=9﹣12a+3a2=0，

解得a=1或a=3．

（2）∵f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣a）（x﹣3a），

①當a=0時，f′（x）=x2≥0在[0，4]內恒成立，

故f（x）不是單峰函數，

故a=0不成立；

②當a＜0時，由f′（x）＞0，得f（x）的增區間為（﹣∞，3a），（a，+∞），

由f′（x）＜0，得f（x）的減區間為（3a，a）

∵f（x）在[0，4]內是單峰函數，

∴，或，

無解．

③當a＞0時，由f′（x）＞0，得f（x）的增區間為（﹣∞，a），（3a，+∞），

由f′（x）＜0，得f（x）的減區間為（a，3a），

∵f（x）在[0，4]內是單峰函數，

∴或，

解得．

綜上所述，a的取值范圍是[）．