Question

對數列{a_n}，規定{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．規定{△²a_n}為{a_n}的二階差分數列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n．
（Ⅰ）已知數列{a_n}的通項公式，試判斷{△a_n}，{△²a_n}是否為等差或等比數列，并說明理由；
（Ⅱ）若數列{a_n}首項a₁=1，且滿足，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：（Ⅰ），
∵△a_n+1-△a_n=2，且△a₁=4，（2分）
∴{△a_n}是首項為4，公差為2的等差數列，不是等比數列． （3分）
∵△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴由定義知，{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列． （6分）
（Ⅱ），即，即，
又△a_n=a_n+1-a_n，∴．（9分）
∵a₁=1，∴，，，
猜想．（10分）
證明：ⅰ）當n=1時，；
ⅱ）假設n=k時，則．
當n=k+1時，．結論也成立．
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，．（12分）
分析：（Ⅰ）根據數列{a_n}的通項公式，結合新定義，可判定{△a_n}是首項為4，公差為2的等差數列，不是等比數列，{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列，也是首項為2，公比為1的等比數列；
（Ⅱ）先猜想，再用數學歸納法進行證明，證題時要利用到歸納假設．
點評：本題主要考查對新定義的理解，考查等差數列與等比數列的判定，考查數列的通項，先猜后證是關鍵．